[미분적분학] 중적분

중적분을 교육과정에서 배운 적은 없지만,, 확랜 joint pdf 같은거 계산하려면 알아야 하기에 정리한다. 

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우선 중적분은 이런 식으로 생겼다. 

dy dx라고 썼으니까 y에 대해 먼저 적분하고, 그 다음에 x에 대해 적분하겠다는 의미이다. 

그리고 ∫ b a  dx 이거를 바깥쪽 적분이라고 하고  ∫ g2(x) g1(x) dy 이걸 안쪽 적분이라고 한다. 

안쪽 적분은 안쪽 변수에 대한 범위를, 바깥쪽 적분은 바깥쪽 변수에 대한 범위를 설정해야 한다. 

적분 순서는 안쪽 적분 후 바깥쪽 적분을 하는 식이다. 

 

f(x,y): 적분할 함수(예: Joint PDF)

a, b : x 변수의 적분 구간

g1(x) g2(x) : x가 고정되어 있을 때 y 변수의 범위

 

바깥쪽 적분은 고정된 구간을 가진다. 

안쪽 적분은 바깥 변수에 따라 적분 구간이 달라진다. 

 

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예제를 보자. 

2-a의 경우 joint cdf의 개념이 -무한대부터 (여기서는 0이지만) x 까지의 확률이므로 여기선 변수를 du로 대체해서 풀어야 한다. 

2-b의 경우 x>y 의 관계..? 가 들어갔으므로 치환 안해도 됨. (나도뭔말하는지 모르겠다.. ) 

2-b의 경우 두가지 방법으로 풀 수가 있다. 

1. y에 대해 먼저 적분 후, x에 대해 적분하기

 

2. x에 대해 먼저 적분하고, y에 대해 적분하기