[확랜] PMF PDF CDF 개념 정리 (+Joint 개념)

하........

진짜 별거 아닌 개념을 이렇게 어렵게 가르치는 교수님 ..^^

수업 차라리 안 듣는게 나을 판임(실제로도 그럼)

근데 뭐 강조하시는진 들어야해서 듣긴 함 ^^

 

이거 중간고사 개념인데 기말고사 공부하면서 득도했다.. 부끄러운 이야기지만 난 저 개념들이 다 "확률"인지도 몰랐음^^

 

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1. PMF

얘는 이산인 무언가의 확률임

이산이 뭐냐? 셀 수 있는거. 그래서 확률이 특정 지점에만 있음

ex) 주사위가 6이 나올 확률, 빨간 공이 나올 확률

(뭐.. 주사위가 4.5234..가 나올 확률 이런거 안되니까)

보통 문제는 그냥 고딩 때 확률 문제처럼 줌

ex) 주사위가 3이나 5가 나올 확률? => 2/6 이런식

2. PDF

얘를 적분한게 확률임. PDF 그 자체는 확률이 아님(읽다보면 이해될거)

얘는 연속인 무언가의 확률을 구할 때 씀. 

연속이 뭐냐? 이어지는 거. 그래서 pdf 그래프가 이어짐.

ex) 버스가 3분에서 5분 사이에 올 확률, 반 친구 한명을 무작위로 뽑았을 때 키가 170~180 사이일 확률

 

근데 pdf는 특정 지점에서는 확률이 0임. 무슨 말이나면, 

버스가 딱 4분33초 98에 올 확률 ..은 매우 희박하니까 그냥 다 0으로 치자는거임

pdf는 구간!!!!!!!! 구간임. 특정 지점은  PMF로 봐야함

보통 문제는 pdf 함수를 주고, 이걸 적분하라고 함

ex) 버스가 정류장에 도착할 pdf 함수가 f(x) = 어쩌구저쩌구일때, 3분에서 5분 사이에 도착할 확률?

=> 저 함수 3에서 5까지 적분하면 되는거 ㅇㅇ

 

3. CDF

여기부터 집중해야함

얘는 -∞부터 x까지의 확률임

그럼 얘는 구간이네? 그럼 pdf 적분? ㅇㅇ맞음

연속인 구간 적분하니까 얘는 smooth curve 그리면서 그래프가 그려짐

 

근데 cdf는 pdf로도 구할 수 있지만, pmf 로도 구할 수 있음

ex) 주사위가 5 미만일 확률? => 4/6 이런 식

얘는 불연속인 구간 적분하는 거니까 불연속 함수 적분하면 그것도 앵간하면 뚝뚝 끊기잖음? 그래서 cdf 함수 뚝뚝 끊김

 

정리하자면

- pdf 주고 cdf 구하라 한다 ? => pdf 함수 -∞ 부터 x까지 적분

- pmf 주고 cdf 구하라 한다? => 덧셈 ㄱㄱ

그림출처 :

https://ram-zip.tistory.com/m/167

[Statistic] Average, Uncertainty, PDF, PMF, CDF Keyword

 

수강신청을..잘..하자^^

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Joint가 뭐냐? and 조건이라 생각하면 됨. 그래서 여기서부터는 변수 2개(이거나 그 이상) 에 대해 다룰 것임

4. Joint PMF

그럼 Joint PMF는 뭘까? 

이산 변수 두개가 있을때, 얘는 어떻고, 쟤는 어떨 확률? 이런식으로 물어봄

ex) 빨간 주사위와 파란 주사위를 던졌을 때, 빨간색은 1이, 파란색은 2가 나올 확률. 

 

특징

1. 항상 0이상 1 이하임

2. Marginal PMF : 단일 PMF를 얻으려면 다른 변수를 합산해야 함. 밑에 예제 참조. 

3. Joint 조건부 PMF : 그냥 조건부 PMF랑 동일

4. 독립성 : X1, X2가 독립이라면 Joint PMF는 각 변수의 개별 곱으로 표현됨

 

ex) 확률 변수 X1, X2는 각각 0 혹은 1의 값을 가질 수 있다. 그리고 둘의 Joint PMF는 다음과 같다. 

X1/X2	0	1
0	0.1	0.2
1	0.3	0.4

 

 

이때, X1이 1일 Marginal PMF는?

0.3 + 0.4 = 0.7

합해야한다는 소리이다. 

 

5. Joint PDF

Joint PDF는, 두개 이상의 연속형 확률 변수가 특정 구간에서 발생할 확률을 구할 때 쓴다. 

PDF 자체가 확률이 아니었듯이, Joint PDF도 확률이 아니다. 이를 적분해야 확률이 되는 것. 

랜덤변수 두개를 x, y라고 하겠다. 

 

1. x와 y에 대해서 -∞ 부터 ∞ 까지 적분하면 1이 된다. 

 

2. 특정 구간에서 확률 계산 : x에 대해 적분할 땐 y 구간에 대해, y에 대해 적분할 땐 x 구간에 대해 적분한다. 

 

3. Marginal PDF : 다른 변수를 -∞ 부터 ∞ 까지 적분한다. 

(아까 Marginal PMF는 합이었으니까, 얘는 적분이 되는것 자명하다)

3. Joint 조건부 PDF : 그냥 조건부 PDF랑 동일

4. 독립성 : X1, X2가 독립이라면 Joint PDF는 각 변수의 개별 곱으로 표현됨

 

6. Joint CDF

Joint CDF는, 두 확률 변수가 - ∞ 부터 특정 값 이하일 확률을 나타낸다. 물론 이 특정 값은 다름. 

 

1. Joint CDF의 값은 항상 0이상 1이하이다. 

2. Joint CDF 의 값은 단조 증가한다. (걍 감소안한다는 말임)

3. 극한 값

4. 그래서 어떻게 구함? -> Joint PDF 적분하거나 PMF 합으로

Joint PDF와의 관계

 

5. 특정 구간에서는? 

 

 

그냥 지피티랑 처음부터 공부할걸 .. ^^